Площа трикутника — формули
Площа трикутника — це кількість одиниць поверхні, яку він займає на площині. Базова формула: S = ½·a·h, де a — основа, а h — висота, проведена до цієї основи. Залежно від того, які дані відомі, існують різні зручні формули для обчислення.
Довідкова таблиця
| Дано | Формула |
|---|---|
| Основа і висота | S = ½·a·h |
| Дві сторони й кут | S = ½·a·b·sin γ |
| Три сторони (Герон) | S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)), p — півпериметр |
Пояснення з прикладом
Найпростіший спосіб знайти площу — скористатися формулою S = ½·a·h. Уявіть трикутник як «половину» прямокутника: якщо взяти прямокутник з основою a і висотою h, то трикутник займе рівно половину його площі. Тому і стоїть множник ½.
Розглянемо приклад: трикутник має основу a = 8 см і висоту h = 5 см. Обчислюємо: S = ½ · 8 · 5 = ½ · 40 = 20 см². Перевіримо: 8 × 5 = 40, половина від 40 — це 20. Відповідь: площа трикутника дорівнює 20 см².
Типові помилки і як запамʼятати
Найпоширеніша помилка — забути поділити на 2 і записати S = a·h замість S = ½·a·h. Щоб цього не сталося, запам'ятайте просту підказку: трикутник — це завжди «половина» відповідного прямокутника, тому формула обов'язково містить ½. Ще одна типова помилка — підставляти замість висоти бічну сторону. Висота — це перпендикуляр до основи, а не будь-яка інша сторона трикутника.
Коли відомі три сторони, але не відома висота, школярі часто розгублюються і вважають, що задачу не можна розв'язати. Насправді у такому разі рятує формула Герона: S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)), де p — півпериметр. Головне — спочатку правильно порахувати p = (a+b+c)/2, і лише тоді підставляти значення.
Часті питання
- Як знайти площу трикутника, якщо відомі лише три сторони?
- Скористайтеся формулою Герона: S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)), де p — це півпериметр, тобто p = (a+b+c)/2. Наприклад, для трикутника зі сторонами 3, 4 і 5: p = (3+4+5)/2 = 6, тоді S = √(6·3·2·1) = √36 = 6 кв. од.
- Чому у формулі площі трикутника є ½?
- Тому що будь-який трикутник можна вписати у прямокутник з тими самими основою і висотою — і трикутник займає рівно половину площі цього прямокутника. Звідси й береться множник ½ у формулі S = ½·a·h.
- Як знайти площу трикутника через дві сторони і кут між ними?
- Якщо відомі дві сторони a і b та кут γ між ними, використовуйте формулу S = ½·a·b·sin γ. Наприклад, a = 6 см, b = 4 см, кут γ = 30°: S = ½ · 6 · 4 · sin 30° = ½ · 6 · 4 · 0,5 = 6 см².