Дискримінант — формула і як розв'язувати
Дискримінант — це спеціальне число, яке показує, скільки розв'язків має квадратне рівняння, ще до того як ви їх шукаєте. Для рівняння ax² + bx + c = 0 він обчислюється за формулою D = b² − 4ac. Залежно від знаку D ви одразу знаєте: чекати два корені, один чи жодного.
Довідкова таблиця
| Дискримінант | Коренів | Формула коренів |
|---|---|---|
| D > 0 | 2 | x = (−b ± √D) / 2a |
| D = 0 | 1 | x = −b / 2a |
| D < 0 | 0 (дійсних) | — |
Пояснення з прикладом
Щоб знайти дискримінант, достатньо підставити коефіцієнти a, b, c із рівняння у формулу D = b² − 4ac і виконати арифметику. Розгляньмо приклад: рівняння x² − 5x + 6 = 0, тобто a = 1, b = −5, c = 6. Обчислюємо: D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1. Оскільки D = 1 > 0, рівняння має два корені: x = (−(−5) ± √1) / (2 · 1) = (5 ± 1) / 2. Отримуємо x₁ = (5 + 1) / 2 = 3 та x₂ = (5 − 1) / 2 = 2.
Перевірмо арифметику ще раз, щоб переконатися. b² = (−5)² = 25; 4ac = 4 · 1 · 6 = 24; D = 25 − 24 = 1 ✓. Корені: x₁ = 6 / 2 = 3, x₂ = 4 / 2 = 2 ✓. Підставте назад: 3² − 5 · 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0 ✓ і 2² − 5 · 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0 ✓. Усе сходиться — алгоритм простий і надійний.
Типові помилки і як запамʼятати
Найпоширеніша помилка — неправильний знак при обчисленні b². Якщо b від'ємне, наприклад b = −5, то b² = (−5)² = 25, а не −25. Школярі часто «скорочують» мінус і отримують хибний результат. Друга типова помилка — переплутати порядок у формулі: пишуть 4ac − b² замість b² − 4ac, і тоді знак дискримінанта виходить протилежним.
Запам'ятати формулу легко через асоціацію: «Бе-квадрат мінус чотири-а-це» — вимовте кілька разів уголос, і вона «вкладеться» в пам'ять. Також корисно одразу після обчислення D перевіряти його знак — це секундна дія, яка рятує від зайвих розрахунків: якщо D < 0, далі можна не продовжувати, дійсних коренів немає.
Часті питання
- Що робити, якщо дискримінант від'ємний?
- Якщо D < 0, квадратне рівняння не має дійсних коренів — серед звичайних чисел розв'язку немає. У шкільному курсі це означає, що задачу виконано: відповідь «коренів немає». У старших класах та університеті такі рівняння розв'язують у комплексних числах, але до цього ви дійдете пізніше.
- Чи можна знайти корені без формули дискримінанта?
- Так, існують інші методи — розкладання на множники або формула Вієта (якщо сума та добуток коренів легко вгадуються). Проте метод дискримінанта є універсальним: він працює для будь-якого квадратного рівняння, тому саме його варто опанувати насамперед.
- Навіщо взагалі потрібен дискримінант, якщо можна одразу підставляти у формулу коренів?
- Дискримінант економить час і запобігає помилкам. Якщо D < 0, ви уникаєте безглуздого обчислення кореня з від'ємного числа. Якщо D = 0, відразу зрозуміло, що корінь один, і формула спрощується до x = −b / 2a. Тобто D — це швидкий «індикатор» ситуації, перш ніж виконувати решту розрахунків.